TEST Arithmétique BTS1 19 mars 2014
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EXERCICE 1
1. Soit n un entier naturel quelconque.
Reproduire et compléter le tableau :
| Les restes dans la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| Les restes dans la division de n2 par 5 | |||||||
| Les restes dans la division de 3 n + 1 par 5 | |||||||
| Les restes dans la division de n2 + 3 n+ 1 par 5 | |
2. L'entier naturel n2 + 3 n + 1 est-il toujours divisible par 5 ?
3. Soit n = 36. Le nombre n2 + 3 n + 1 est-il divisible par 5?
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EXERCICE 2
1. Quel est le reste de la division euclidienne de 10 par 7 ?
Quelle congruence peut-on en déduire ?
2. A-t-on que 102 ≡ 2 [ 7 ] ? Justifier.
A-t-on que 1000 ≡ - 1 [ 7 ] ? Justifier.
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EXERCICE 3
On considère les trois congruences suivantes :
100 ≡ 2 [ 7 ]
10 ≡ 3 [ 7 ]
1 ≡ 1 [ 7 ]
Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
a. Quelle congruence modulo 7 peut-on écrire pour N ?
b. Soit N = 861. En utilisant le résultat précédent montrer que N est divisible par 7.
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EXERCICE 4
1 . Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 2 [ 5 ]
2. Etablir que pour tout entier naturel n on a:
33n ≡ 2n [ 5 ]
3. Soit A = 33 n+ 1 + 2n + 1 où n est un entier naturel quelconque.
En déduire que A ≡ 0 [ 5 ]
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EXERCICE 5
1. Donner tous les multiples de 41 compris entre 82 et 205.
2. a. Le reste d'une division euclidienne peut-il être négatif strictement?
b. On sait que: 100 ≡ - 10 [ 11 ]
En déduire le reste de la division de 100 par 11? Justifier.
3. Quand on écrit 235 ≡ 1 [ 3 ] avec 0 ≤ 1 < 56
quel est le reste de la division de 235 par 3 ?
4. Quelles congruences peuvent traduire l'égalité : 850 = 3 × 279 + 13 ?
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EXERCICE 6
1. Trouver un entier naturel n non nul tel que
3n ≡ 1 [ 5 ]
2. Soit k un entier naturel.
Reproduire et compléter la congruences:
34×k ≡ .... [ 5 ] 34×k + 2 ≡ .... [ 5 ]
34×k + 1 ≡ .... [ 5 ] 34×k + 3 ≡ .... [ 5 ]
Reproduire et compléter le tableau:
| Les restes dans la division de n par 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | ||
| Les restes dans la division de 3n par 5 | |
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