TEST D'ARITHMETIQUE 31 mars 2014

                               TEST D'ARITHMETIQUE   BTS1 B   Lundi 31 mars 2014

       EXERCICE 1

       1. Compléter le tableau suivant où n désigne un entier naturel quelconque:

Restes de la division de n par 4
                           
Restes de la division de 3n par 4                                        

      2. En déduire la forme des entiers naturels n tels que  

                 3 n ≡ 1 [ 4 ]

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           EXERCICE 2

                           Soit  a un entier naturel non nul.

                           On pose :    m =  20 a + 357

                                                 n = 15 a + 187

                     1. Trouver tous les diviseurs de 323 dans IN  sachant que 323 = 17 × 19.

                     2. Calculer 3 m - 4 n.

                     3. Soit D un entier naturel non nul qui divise m et n.

                         Quels sont les possibilités pour D?

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      EXERCICE 3

                    Dans le système décimal  N = abc  où a , b , c sont dans

                            l'ensemble { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 , 8 , 9 }  et a ≠ 0.

                    On dispose des congruences :

                                102   ≡   0 [ 4 ]

                                10      ≡  10 [ 4 ]           

                                  1  ≡   1 [ 4 ]    

                           Montrer  que N est divisible par 4 quand le nombre bc

                         formé par les deux chiffres de droite de N est divisible par 4.

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       EXERCICE 4

             1 .   Compléter les congruences:

                               128      ≡  .....     [ 7 ]

                                100      ≡  .....     [ 7 ]

                                1007      ≡  .....     [ 7 ]

           2. En déduire  que   1007    -  100   est divisible par 7.

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     EXERCICE 5

            1. Trouver le plus petit entier naturel non nul p tel que 3p  ≡  1  [ 11 ].

           2.  Reproduire et compléter::

                (  k désigne un entier naturel )

       35k      ≡  .....     [ 11 ]                     35k + 2      ≡  .....     [ 11 ]          35k + 4      ≡  .....     [ 11 ]

      35k + 1      ≡  .....     [ 11 ]                  35k + 3      ≡  .....     [ 11 ]

Restes dans la division de l'entier n par 5                                   
Restes dans la division de 3n par 11          

            3. Comment doit s'écrire l'entier naturel n pour que   3n + 7 soit divisible par 11 ?

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      EXERCICE 6

               1. Compléter:     52      ≡  .....     [ 7 ]

                                        52 n      ≡  .....     [ 7 ]

                                         22    ≡  .....     [ 7 ]

                                          22 n    ≡  .....     [ 7 ]

                                           2 2n + 3   ≡  .....    [ 7 ]

            2.  Justifier que:         52 n -  2 2n + 3   ≡  0     [ 7 ]    pour tout n dans IN.

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