TEST BTS 1 ARITHMETIQUE 1 avril 2015
EXERCICE 1
1. a. Quand un entier n est divisible par 3 quel est le reste de sa division par 3 ?
Quelle congruence peut-on alors écrire ?
REPONSE:
• Dans ce cas le reste de la division par 3 est 0.
• On peut alors écrire : n ≡ 0 [ 3 ]
b. Quel critère connaissez-vous, permettant de savoir si l'entier 525 est divisible
par 3 ?
REPONSE:
" Si la somme des chiffres de 525 est
divisble par 3 alors 525 est divisible par 3."
Ce qui est le cas : 5 + 2 + 5 = 12 et 3 divise 12
c. Peut-on écrire : 525 ≡ 0 [ 3 ] ? Expliquer.
REPONSE:
OUI car 525 est divisible par 3
525 = 0 + 3 × 175
2. Décomposer en facteurs premiers les entiers a = 1960 et b = 2100.
REPONSE:
a = 1960 = 23 × 5 × 72
b = 2100 = 22 × 3 × 52 × 7
3. Donner tous les diviseurs de c = 23 × 5.
REPONSE:
c = 23 × 5 = 40
Les diviseurs sont de la forme 2k × 5h
avec k = 0 ou k = 1 ou k = 2 ou k =3
et h = 0 ou h = 1
Il y a donc 4 × 2 = 8 diviseurs
Ainsi on a:
20 × 50 = 1
20 × 51 = 5
21 × 50 = 2
21 × 51 = 10
22 × 50 = 4
22 × 51 = 20
23 × 50 = 8
23 × 51 =40
On obtient : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40
4. Trouver d le PGCD de a et b. Justifier.
Donner les deux entier naturels a ' et b ' premiers entre eux tels que
a = a ' d et b = b ' d
REPONSE:
Le PGCD de a et b est : d = 22 × 5 × 7
c-à-d d = 140
On a : a = 1960 = 14 × 140
et b = 2100 = 15 × 140
Donc: a ' = 14 et b = 15
5. Soit p = 23.
Justifier que p est un nombre premier.
Rappel : Les nombres premiers inférieurs à 10 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7
REPONSE:
√ 23 ≈ 4,7
Les nombres premiers entre 2 et 4,7 sont 2 ; 3
Or 2 ne divise pas 23 et 3 ne divise pas 23
Donc: 23 est un nombre premier.
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EXERCICE 2
1. Donner tous les multiples de 41 compris entre 82 et 205.
REPONSE:
On a les multiples positifs de 41 qui sont de la forme 41 k où k est dans IN.
On veut 82 ≤ 41 × k ≤ 205
Donc 82 / 41 ≤ k ≤ 205/ 41
c-à-d 2 ≤ k ≤ 5
Alors :
Les multiples cherchés sont :
41 × 2 = 82
41 × 3 =123
41 × 4 =164
41 × 5 =205
Donc les multiples demandés sont : 82 ; 123 ; 164 ; 205
2. a. Le reste d'une division euclidienne peut-il être négatif strictement ?
REPONSE
NON .
Le reste est toujours compris entre 0
compris et le diviseur non compris
b. On sait que: 100 ≡ − 10 [ 11 ]
Quel est le reste de la division euclidienne de 100 par 11 ? Justifier.
REPONSE:
On sait que : 100 ≡ − 10 [ 11 ]
Donc : 100 ≡ − 10 + 11 [ 11 ]
c-à-d 100 ≡ 1 [ 11 ] avec 0 ≤ 1 < 11
Donc:
1 est le reste de la division de 100 par 11
3. Quand on écrit 235 ≡ 1 [ 3 ] avec 0 ≤ 1 < 3
quel est le reste de la division euclidienne de 235 par 3 ?
REPONSE:
Comme 235 ≡ 1 [ 3 ] avec 0 ≤ 1 < 3
Le reste de la division de 235 par 3 est 1
4. Quelles congruences peuvent traduire l'égalité : 850 = 3 × 279 + 13 ?
REPONSE:
Ainsi: 850 ≡ 13 [ 3 ]
et 850 ≡ 13 [ 279 ]
5. Trouver le plus petit entier naturel n non nul tel que : 3n ≡ 2 [ 5 ]
REPONSE:
On a : 31 ≡ 3 [ 5 ]
32 ≡ 32 [ 5 ] c-à-d 32 ≡ 9 [ 5 ] c-à-d 32 ≡ 4 [ 5 ]
33 ≡ 3 × 4 [ 5 ] c-à-d 33 ≡ 12 [ 5 ] c-à-d 33 ≡ 2 [ 5 ]
Le plus petit entier naturel non nul est donc n = 3
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