INFO TEST du 15 février 2013

                                INFO TEST BTS1 B     Vendredi 15 février 2013

                            Résumé des réponse: ( à détailler )

                           feuille1dsbtsarithmrep.png

                    feuille2dsbtsarithmrep.png

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       Corection détaillée:

     EXERCICE 1

    1. La division de 94 par 13 permet de dire :

                                    94 = 13 × 7 + 3

        c-à-d                  94 - 3 =  13 × 7 

          Conclusion:         94 ≡ 3  [ 7]

       2. La congruence  35 ≡ 0  [ 5]    se traduit en français par

                 <<  35 est un multiple de 5 >>

             ou encore 

                  <<   le reste de la division de 35 par 13 est 0  >>

          ou encore 

               << 35 est divisible par 5  >>

      3. Soient n et p deux entiers naturels tels que 

            n ≡ 3  [ 4 ]   et p  ≡ 1  [ 4]

         a. Ecrivons une congruence pour n2.

                 On a :            n ≡ 3  [ 4 ]

               Donc  en considérant les carrées il vient:

                                           n2  ≡ 32  [ 4 ]

                 c-à-d  

                                        n2   ≡ 9  [ 4 ]

                 c-à-d            comme 9 = 2× 4 +  1

                       Conclusion:                n2   ≡ 1  [ 4 ]

           Ecrivons une congruence pour  3p.

                  On a :          p  ≡ 1  [ 4 ] 

                   Donc   en multipliant par 3 il vient 

                          Conclusion:     3 p    ≡ 3  [ 4 ]         

     b. Montrons que :

                                     n2  + 3 p ≡ 0  [ 4 ]

           On dispose deux congruences :

                          n2   ≡ 1  [ 4 ]         et      3 p    ≡ 3  [ 4 ] 

            Par somme il vient :

                              n2  + 3 p ≡ 4  [ 4 ]  

             c-à-d 

              Conclusion :     n2  + 3 p ≡ 0  [ 4 ]

       c. Regardons si l'on a aussi :

                          n ≡ 3  [ 2 ]   et  p  ≡ 1  [ 2 ]

            OUI.

                 En effet:

            On a  :    n - 3 qui est un multiple de 4 donc de 2

                             p - 1 qui est un multiple de 4 donc de 2

              d'où le résultat annoncé.

           • Montrons qu'alors  :      n - 7 p  ≡ 3  [ 2 ]

                  ••   On a .             p  ≡ 1  [ 2 ]  

                        Donc             - 7 p  ≡ - 7  [ 2 ]

                         c-à-d              sachant - 7 + 8 = 1

                                                             - 7 p  ≡ 1  [ 2 ]        

                    ••  On a aussi:        n ≡ 3  [ 2 ]  

                         Donc                  n2  ≡ 9  [ 2 ]

                           c-à-d                        n2  ≡ 1  [ 2 ]

                  Donc par somme :

                        n2 - 7 p  ≡ 2  [ 2 ]

                c-à-d 

             Conclusion:      n2 - 7 p  ≡ 0  [ 2 ]

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             EXERCICE 2

      1. Montrons  que :    2013  ≡ 4  [ 7 ]

           En effet :      2013 -  4 =  287 ×  7     

                 Le résultat est avéré.

    2.  Montrons  que :    2021  ≡ 5  [ 7 ]               

            En effet :      2021 -  5 =  288 ×  7 

                 Le résultat est avéré.

     3.a. Regardons si l'on a :   56   ≡ 1  [ 7 ]

               OUI 

            En effet :         

                    56   - 1 = 15625 = 2232 × 7    

               Donc :           56   ≡ 1  [ 7 ]

           b. Regardons alors quelle congruence vérifie  56k   où  k est dans IN.

                         On a:

                              56   ≡ 1  [ 7 ]

                         Donc pour tout k dans IN on a :

                         5  6k  ≡ 1  [ 7 ]k

                           c-à-d 

          Conclusion:     5  6k  ≡ 1    [ 7 ]

          c.

                    congruence44.png